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Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 1 - La recta real y las funciones elementales

9. Una empresa de logística naval decide invertir en la construcción de una nueva línea de containers de metal. Los contenedores son de base y lados rectangulares, de modo tal que su ancho es de 4 metros y su capacidad es de 36 metros cúbicos, con la particularidad que se fabricarán sin tapa. Si el costo de fabricación de la base es de $150\$ 150 por metro cuadrado y de $75\$ 75 por metro cuadrado para los lados, hallar el costo del tanque más barato de producir.

Respuesta

Primero, vamos a arrancar este problema con un esquemita del tanque. Sabemos que el ancho es de 44 metros, a las otras dos variables que nos quedan (el largo y la altura) las voy a llamar por ahora xx e yy 
 
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El volumen del tanque sale de plantear:

V=x4yV = x \cdot 4 \cdot y

El área de la base del tanque la calculamos como:

Abase=4xA_\text{base} = 4 \cdot x

Para el área de los lados vamos a tener dos expresiones diferentes, porque la "base" cambia. Hay dos lados donde el área la vamos a calcular como A1=xyA_1= x \cdot y y otros dos lados donde las calculamos como A2=4yA_2 = 4 \cdot y

Ahora, sabemos que el volumen no puede valer cualquier cosa, tiene que valer exactamente 3636 metros cúbicos. Eso nos da una relación entre xx e yy:

V=x4yV = x \cdot 4 \cdot y

36=x4y36 = x \cdot 4 \cdot y

9x=y\frac{9}{x} = y

Entonces, el área de los lados depende efectivamente sólo de xx, mirá:

A1=xyx 9x=9A_1= x \cdot y \Rightarrow x \cdot \frac{9}{x} = 9

A2=4y4 9x =36xA_2 = 4 \cdot y \Rightarrow 4 \cdot \frac{9}{x} = \frac{36}{x}

Ahora nos tenemos que construir la función costo (C)(C). Es decir, una función que, para cada valor de xx que yo le ponga, me devuelva el costo que costaría fabricar ese tanque. El costo de la base va a salir de multiplicar el área de la base por lo que cuesta el metro cuadrado, y lo mismo para cada lado. Nos quedaría así:

C(x)=150(4x)+2[75 36x] +2[759]C (x) = 150 \cdot (4x) + 2 \cdot [75 \cdot \frac{36}{x}] + 2 \cdot [75 \cdot 9]

Acomodamos un poquito:

C(x)=600x+5400x+1350 C(x) = 600x + \frac{5400}{x} + 1350

Esta es nuestra función costo. Ahora, tenemos que encontrar dónde está el mínimo de esta función, es decir, va a haber un x>0x > 0 para el cual esta función valga lo mínimo que puede valer (ese va a ser el costo mínimo). Este tipo de problemas, cuando veamos derivadas, lo vamos a poder resolver mucho mejor que ahora y con mejores herramientas. Por ahora, vamos a tener que empezar a construir algunos razonamientos: Fijate que el término 600x600x depende de forma directamente proporcional con xx, o sea, a medida que xx aumenta, ese término vale cada vez más. En cambio, 5400x\frac{5400}{x} depende de xx de forma inversamente proporcional, es decir, a medida que aumenta xx ese término se hace cada vez más chico. El balance entre estos dos términos se va a dar cuando sean iguales, es decir:

600x= 5400x 600 x = \frac{5400}{x}

x2=9 x^2 = 9

x=3 |x| = 3

Como xx por definición tiene que ser positivo, entonces nos quedamos únicamente con la solución x=3x=3

Es decir, cuando x=3x = 3 metros, el costo va a ser el mínimo posible. Evaluamos la función C(x)C(x) en x=3x=3 a ver cuánto nos da:

C(3)=6003+54003+1350=4950 C(3) = 600 \cdot 3 + \frac{5400}{3} + 1350 = 4950

Es decir, el costo del tanque más barato de producir es 4950 pesos. 

Aclaración: Este tipo de problemas se llaman de Optimización y cuando sepamos derivadas vamos a resolver muuuuchos más como estos (yo de hecho tuve que pensar un ratito cómo explicarles este ejercicio sin derivar todavía! sabiendo derivadas y estudio de funciones van a ver que es un poco más fácil)
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Claudio
16 de mayo 19:11
Buenas tardes Profe, me puede explicar, no entiendo cuando buscamos el mínimo de la función iguala 600x= 5400/x . ¿como llega a esto? ¿ y el 1350 ?
Flor
PROFE
16 de mayo 19:36
@Claudio Hola Claudio! Entiendo que no haya podido quedar claro, yo me volví loca en su momento con este ejercicio tratando de explicarlo sin recurrir a derivadas 😵‍💫 Lo primerísimo que te quiero aclarar es que, este tipo de ejercicios donde hay que buscar mínimos (o también máximos) de funciones, lo estás arrancando seguramente a ver ahora en la cursada y lo más natural sería resolver esto usando derivadas para buscar el mínimo de la función. 

Usando derivadas, si vos querés encontrar el mínimo de la función C(x)C(x), lo que tenés que hacer es derivar C(x)C(x) e igualar a cero, y ahí despejas y te termina quedando igual el mismo resultado que obtuvimos acá: x=3|x| = 3

Por eso, consejo, yo no me volvería loco con tratar de resolver este ejercicio sin derivadas! Porque creo que es más quilombo tratar de explicarlo sin usar derivadas, que aprender a derivar jajaja... Si vos ahora estás preparando el segundo parcial, tratá de reforzar las cosas básicas del primero si quedó medio flojo y después ya metete con las guías y ejercicios de parciales del segundo... Vas a ver que en las guías y ejercicios del segundo parcial vamos a resolver muchos problemas donde hay que buscar máximos y mínimos de funciones, ahí vas a tener para entrenerte para practicar jajaja

Yo estoy acá para las dudas que vayan surgiendo! Preguntá sin drama 😊
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